摘要

在每一个闭合接触流形上都存在体积为1的接触形式，其Reeb流具有任意小的拓扑熵。相反，对于许多闭流形，(不一定可逆)归一化的Finsler测地流的拓扑熵有一个一致的正下界。

1 介绍

1.1 主要结果

本文的主要结果是以下两个定理。

定理1.1

设为一个闭合共取向接触流形。对于每一个都存在一个体积为1的接触形式，使得其Reeb流的拓扑熵小于。

给定一个封闭流形Q，求Q上体积为1的黎曼度量的体积熵的最小值。这个数对于一个封闭的可定向曲面是等于的，并且它是正的，例如如果Q允许一个负曲率的黎曼度规。给定Q上的一个芬斯勒度量F，我们用F的测地线流的时一映射的拓扑熵表示

其中是欧几里得单位球的体积。例如，渐近的。

定理1.2

设Q是一个闭合连通的n维流形。那么对于Holmes-Thompson卷1中Q上的每一个Finsler度规F它都成立

如果F是对称的

在本导论的其余部分，我们将回顾这些定理中出现的概念，更详细地描述本文所证明的结果，将它们置于上下文中，并提出它们所引起的一些开放问题。我们首先讨论了单位圆束在高属闭合可定向曲面上的特殊情况。对于这些简单的空间，大多数想法已经存在。我们保持这种表示形式的非正式性，请参考后面的部分以获得精确的定义和参数。

1.2 单位圆束在高属面上的情况

设为格的闭合可定向曲面。对于每一个黎曼度量g on，我们考虑单位圆束上的测地线流

拓扑熵是流复杂性的一个很好的数值度量。一个定义可以在附录A中找到。这是一个有趣的不变量，因为它与许多其他的复杂性度量相关，参见[60]。

哪个黎曼度量g最小?从动力学的角度来看，这样的g可以被认为是最好的黎曼度规。因为拓扑熵的尺度是

这个问题只有在实行正常化时才有意义。我们用黎曼面积进行归一化，并考虑尺度不变量

dinabburg[42]和Manning[69]的一个经典定理是，任何黎曼度规上的测地线流都具有正拓扑熵(参见下文附录a)。然而，他们的结果并没有给出一个统一的正下界，也没有提到最小化值。这在Katok的以下显著结果中得到了实现[64]。

定理1.3

(Katok 1983)对于每一个黎曼度规g都成立

此外，等式成立当且仅当g具有恒定曲率。

测地线流是非常特殊的Reeb流。对于我们的单位圆束，里布流可以描述如下。我们看一下余切束而不是正切束，它被赋予了通常的辛形式。设为一个连续函数，它在远离零点的地方光滑且正，并且在纤维方向上为1次正齐次。则是光滑的超曲面，其性质是，对于每一点，其与余切平面在q处的交点是相对于原点的星形区域的光滑边界，见图1左图。用H到的哈密顿流的限制表示。这类流就是单位圆束上的Reeb流。这个流是共测地线流，如果H限制在每根纤维上为正二次型的平方根。纤维的特殊形状与特殊的Reeb流相对应:

：

是黎曼测地线流当且仅当每一个都是中心对称椭圆。

：

是可逆的芬斯勒测地线流，当且仅当每条流都是中心对称的严格正曲率的闭合光滑曲线。

():

是芬斯勒测地线流，当且仅当每条流都是严格正曲率的光滑封闭曲线。

在这里，我们通过勒让德变换确定了共芬斯勒测地线流和芬斯勒测地线流。

定义(a) Reeb流，(b) Finsler测地线流，(c)可逆Finsler测地线流，(d) riemanan测地线流的球体

在[49]的基础上，[68]表明dinabburg和Manning关于黎曼测地流的上述结果可推广到所有的Reeb流:

定理1.4

每一个Reeb流都有正的拓扑熵。

Katok定理是否也适用于Reeb流?为了使这个问题有意义，我们需要再次进行规范化。我们通过有界域的辛体积来实现这一点，并定义与H by相关的Holmes-Thompson体积

然后是归一化拓扑熵

在h的标度下是不变的，在黎曼情况下，这个定义与(1.2)一致，从此。在[48，§7.2]中有这样的问题。

问题1.5

是否有一个正的常数c(k)使得每一个在共环束上的Reeb流?

让我们首先试着对芬斯勒测地线流作肯定的回答。给定一个芬斯勒度规F on，一个明显的想法是通过选择一个更大的黎曼度规来找到一个下界，参见(1.1)。一般来说，测地线流的拓扑熵对于度量上的序关系不是单调的。因此，我们传递给熵的一个更几何的版本，这确实是单调的:F的体积熵被定义为球在通用覆盖层(也就是平面)中的指数增长率，

其中为中任意固定点，为半径为R的球相对于提升的芬斯勒度规，为体积相对于任何光滑区域形式的升力(详见附录A)。很明显，这意味着

在黎曼度规g的情况下，简单地表示为，我们有这个

如Manning在[69]中所证明的，如果g具有非正曲率，则为相等。他的证明(1.6)很容易推广到所有Finsler度量，见附录A:

设g是黎曼度规，这样。使用(1.7)和式(1.5)，我们现在可以估算

在[64]中，Katok实际上证明了归一化体积熵的1.3定理(由Manning定理隐含1.3定理)。因此我们得到

为了得到一个均匀的下界，因此我们寻找一个黎曼度规g在霍姆斯-汤普森体积的意义上，它与F尽可能接近。我们最好直接在cotan包中完成。因此，我们观察每一个中心对称的椭圆，这样，由它所包围的区域表示，我们有并且在体积上尽可能接近。

如果是中心对称的，最佳选择是Loewner外椭圆。这是唯一的中心对称椭圆封闭，它使它所包围的区域面积的值最小，我们用。这里的面积是对平面上的任意平移不变量求的。洛厄纳椭圆连续依赖于q，面积比最大

是，当是一个平行四边形的时候。如果我们取黎曼度规g它的集合是单位盘，因此我们得到

与(1.8)一起得到

如果不是中心对称的，我们观察到凸壳

是中心对称的。不难看出，对于每一个包含原点的凸体，

通过在原点有一个顶点的三角形精确地获得相等。因此,

请注意，该常数是尖锐的，并且精确地由在原点有一个顶点的三角形获得，参见图2 (b)。

的均衡

因为这两张地图

是连续的，我们可以取单位盘的黎曼度规为g

并获得

综上，我们得到可定向曲面的定理1.2:

这些下界有多明显?常数和是否可以用1代替还不得而知。换句话说，是否存在这样的芬斯勒度量F是未知的。我们将在第1.7节中更多地讨论这个“最小熵问题”。

回想一下，对于k属的闭合可定向曲面，我们有

对于定向覆盖为的不可定向曲面

对于其他四个封闭曲面(球体、环面、实投影平面和克莱因瓶)，定理1.2是无用的，因为它会消失，事实上，在这些曲面上存在着拓扑熵消失的测地线流。

我们现在看一下共环束上的一般里布流。如前所述，这些流对应于哈密顿函数中的哈密顿流，它们是纤维齐次的。寻找一个下界，我们继续在芬斯勒测地线流的情况下，但已经知道(1.9)，我们现在比较H与任何芬斯勒度量。选择一个芬斯勒哈密顿量，即。

定义(1.4)可以推广到Reeb流:固定一个点，取升力q和升力H，定义为以该点为起点的一条流线可以及时到达纤维的点集合的体积指数增长率。正如我们将在附录A中展示的那样，曼宁的不平等仍然存在，

我们现在想要证明有一个常数只依赖于H和F，使得。对于非凸H，这样一个常数的存在性不是从几何考虑得出的，因为它通常不正确，这意味着包含球。然而，使用拉格朗日花同调可以避免通过，直接证明

式中为满足的最小实数，如图3所示。这将在第3节中使用[68]中上述定理1.4的证明来解释。

中的副盘

这个数字是衡量纤维离凸的距离有多远。不等式(1.10)和式(1.9)以及Katok不等式暗示

命题1.6

对于共环束上的每一个Reeb流，

下面定理1.1的特殊情况表明(1.11)中的下界不能是一致的，问题1.5的答案是“否”，并且没有办法将Katok的刚性定理推广到Reeb流。

定理1.7

因为每一个都有一个里布流。

命题1.6表明，除非至少有一些协盘离凸很远，否则这种熵塌缩不会发生。然而，明确地写下这些导致小的星场似乎很困难。事实上，我们对定理1.7的证明并没有使用特殊的纤振结构，而是使用了对所有闭3流形都有效的开卷分解的存在性，见4.2节开头的大纲和4节的证明。

1.3 芬斯勒测地线流的熵刚性

如前一节所述，我们很容易得到任意维数为n的闭流形Q上的Finsler测地线流的定理1.2，

这里的归一化是根据霍姆斯-汤普森体积完成的

它扩展了definition(1.3)。(1.12)的证明使用了Loewner的外椭球体和对称凸体的Roger-Shephard体积界。类似的论点出现在[6]中，它们被用来从黎曼度量的类似不等式推导出芬斯勒度量的收缩不等式。

对于芬斯勒度量，还有另一种自然体积，即Busemann-Hausdorff体积。对于可逆的芬斯勒度量，这个体积至少是Holmes-Thompson体积，见第2节。因此，如果我们用Busemann-Hausdorff体积进行归一化，(1.12)中的第二个不等式也成立。然而，对于不可逆的Finsler度量，我们不知道(1.12)中的第一个不等式是否对Busemann-Hausdorff体积成立。

对于维数流形，体积熵的理解要比曲面的理解困难得多。唯一清晰的结果是对Katok定理的推广。

定理1.8

(Besson-Courtois-Gallot[20,21])如果Q是一个至少维数为3且允许一个负曲率的局部对称黎曼度规的封闭流形，则

对于每一个黎曼度规g在Q上，等式成立当且仅当g也是局部对称的。特别是……

请注意，Katok定理中最小值的等距空间是维度teichm ller空间，而定理1.8中的最小值都是等距的，根据Mostow定理。

在定理1.2的背景下，我们希望知道什么时候。证明的主要工具是简单体积。如果Q是可定向的，它被定义为取最小值的地方是那些表示具有实系数的基本类的和。如果Q不可定向，则传递到定向双罩并放置。Gromov在[59]中证明

为显式维度常数。

具有正简单体积的流形Q比定理1.8中的流形要多得多。事实上，对于所有承认黎曼度规为负曲率的流形，以及与任何其他正简单体积的封闭流形的积以及与任何其他相同维数的封闭流形的连通和，都保持了单纯体积的正性。我们参考[59]和[66]获得更多关于简单体积的例子和信息。

1.4 Reeb流的熵塌缩

Reeb流是与接触流形自然相关的流。()维流形M上的接触结构是切束TM的极大不可积超平面场。我们自始至终假设它是可共定向的，即，对于M上的1-型，对于这样的形式，称为接触型，最大不可积性意味着它是M上的体积型。对于M上的任何非消失函数f，其1-型也是M上的接触型。每个接触形式都会产生Reeb流，Reeb流由这两个条件隐式定义的Reeb向量场生成

对于每一个封闭流形Q，所谓的球化是一个接触流形，其Reeb流正是1.2节中描述的在封闭表面情况下的流，参见附录B.1。每一个封闭3-流形都允许无限多个非同位素接触结构，一个奇维封闭流形M当且仅当其稳定切束允许一个复杂结构时才允许一个接触结构[22]。

定理1.4已推广到许多接触流形:首先，对于许多闭流形Q，每一个Reeb流都有正拓扑熵，[68]。其次，存在许多封闭的三维流形M，使得对于M上的每个接触结构，每个Reeb流都具有正拓扑熵[7,8,9,10,74]。关于非简并Reeb流的最新结果见[33]。

虽然在这些结果中，底层流形具有丰富的循环空间拓扑，但也有一些例子表明，所有Reeb流的拓扑熵的正性并非来自循环空间的拓扑复杂性。例如，文献[11]表明，标准光滑维球允许存在一种接触结构，其中每个Reeb流都具有正拓扑熵。

然而，对于这些接触流形都不存在归一化拓扑熵的统一界:维度的共取向接触流形的接触体积定义为

现在定义Reeb流的归一化拓扑熵

此规范化将(1.3)和(1.13)的规范化扩展到所有接触流形，参见附录B.1。下面的结果包含定理1.1。

定理1.9

设为至少三维的闭合共取向接触流形。那么对于每一个实数，都存在一个这样的联系表单。

事实上，我们将证明定理1.9中表达的灵活性对于更大的增长率:给定紧流形M的一个-微分同构，我们定义两个实数

这里表示由M上的黎曼度规导出的上范数，但上述极限的存在是由数列的次可加性推导出来的，显然与度规的选择无关。

Yomdin[96]用这个量来衡量拓扑熵和体积生长之间的差异，[39，§7.10]中提出了对各种类型的微分同态序列生长类型的研究。例如，在[82,83]中研究了更对称的不变量及其多项式版本。对于哈密顿流和里布流，均匀测量(如霍弗度量)被证明可以捕获辛刚性，因此观察这两种增长率是特别自然的。

范数增长并与拓扑熵相关

第一个不等式见[60，推论3.2.10]。的数字和是其他几个不变量的上界，因此Reeb流的可折叠性也意味着这些不变量的可折叠性。例如，不小于每一点的最大李雅普诺夫指数。与

p点的正李雅普诺夫指数和它们的多重数，我们还有。结合Margulis-Ruelle不等式(见[60，定理S.2.13])，我们得到了对于任何不变Borel概率测度的度量熵都有上界

应用拓扑熵的变分原理，我们再次得到(1.15)。

从现在开始我们专注于。对于流我们设置，对于Reeb流我们设置。因为我们拥有，因此。就像拓扑熵一样，不变量

因此，在标度下是不变的。鉴于(1.15)，下面的结果改进了定理1.1。

定理1.10

设为至少三维的闭合共取向接触流形。那么对于每一个实数，都存在一个这样的联系表单。

我们将沿着下面的路线证明定理1.9和1.10。主要步骤是显示，对于每个存在一个联系人表单，以便。我们借助于M的开卷分解和归纳构造，其中归纳步骤是通过将归纳假设应用于M的开卷分解的绑定来进行的。我们可以在1维的圆上开始归纳，其中。然而，我们在第4节中单独提出了三维情况，因为我们相信，在理解了这种特殊情况下的几何思想之后，遵循一般论证就更容易了。归纳步骤在第6节中完成。它使用了吉鲁关于接触结构和支持开放书籍之间对应关系的结果，我们在第5节中回忆起。

给出上述的接触形式，定理1.9和1.10是从(1.15)和对增加和的一个简单修改中推导出来的，参见第7节。

1.5 辛不变量的增长速率

在文献[9,11,74]中表明，某些辛拓扑不变量的指数增长率为Reeb流的拓扑熵提供了一个下界。这些不变量分别是线性化的Legendrian接触同调[9]、包裹的Floer同调[11]和Rabinowitz-Floer同调[74]。将这些结果与定理1.1相结合，我们得到这些不变量的增长率可以任意小。详情见第8节。

1.6 与收缩不平等的关系

考虑一个维度的闭合共取向接触流形。给定一个至少有一个周期里布轨道的接触形式，取最小的周期。即所谓的收缩率

在标度下是不变的。

虽然对于许多闭流形Q的球化，黎曼里布流的收缩比有著名的均匀上界，但在整个里布流类中，有以下柔性结果。

定理1.11

对于任何闭合共取向接触流形和每一个正数c，存在这样的接触形式。

这一结果在[1]中的紧密3球和[2]中的所有接触3流形中通过打开书分解中的塞结构得到了证明。本文使用开卷分解来证明熵坍缩的想法就来源于这些工作。维数定理1.11在[88]中得到了证明。这个证明后来被我们在第6节中的归纳构造大大简化了[89]。有趣的是，我们在第三维的构造并没有得到定理1.11的证明。这表明，至少在最小的感兴趣的维度上，人们有更大的灵活性来瓦解Reeb流的拓扑熵，而不是增加它们的收缩比。

1.7 Finsler流和Reeb流的最小熵问题

给定紧流形M上的一类映射，了解该类中哪些映射最小化(归一化)拓扑熵是很有趣的。由于拓扑熵是复杂性的度量，因此这些映射可以被认为是类中M上最简单或最好的映射。

对于紧致流形Q的球化SQ上的一类黎曼测地流，最小熵问题由三部分组成。

1. (P1)

   计算最小熵

2. (P2)

   决定是否达到了最低限度。

3. (P3)

   如果达到了最小值，描述最小值g。

对于具有负曲率局部对称黎曼度规的流形，定理1.3和定理1.8完全解决了最小熵问题。在关于最小熵问题的许多更有趣的工作中有[65,81]。

最小熵问题也可以表述为更大类别的Finsler和Reeb流。再定义三个数字

分别取所有接触形式的定义中的最小值，所有Finsler度量的定义中的最小值，以及所有可逆Finsler度量的定义中的最小值，其中在(1.13)和式(1.14)中，我们通过Holmes-Thompson体积进行归一化。

定理1.1表明，对于所有紧流形q，这解决了该类的(P1)。此外，对于许多流形，例如那些具有指数增长基本群的流形，根据[68]中的定理1.4的一般版本，(P2)的答案是“不”。

现在我们来看不变量和。根据定理1.2和定理A.2，我们有

对于具有负曲率的局部对称黎曼度规的流形(对此)我们似乎对和的值一无所知，所以熵问题中的(P1)已经对和类开放了。

寻址(P3)我们注意到，在Finsler设置中，不能期望最小归一化拓扑熵的度量是唯一的，甚至不能用类曲率不变量来表征。事实上，它的任何精确的辛形态都是-接近恒等式将芬斯勒度规F的单位余切球束映射到某个芬斯勒度规的单位余切球束，这个芬斯勒度规的测地线流通过光滑保时共轭与F的测地线流共轭。特别地，新的Finsler度量具有与F相同的归一化拓扑熵，但不需要与F等距。关于这一点的讨论见附录D。

更高的排名。职位越高，话就越多。下面的结果在2.6节中利用Verovic的工作[93]得到了证明。

命题1.12

设(Q, g)为秩的非紧型紧局部对称空间。那么就存在一个常数

常数c只依赖于全局对称空间，它可以从其Weyl数据中计算出来。更精确的表述见下面的命题2.7。

设q上所有局部对称黎曼度量g的最小值，这个数很容易计算，见[35，§2]。不幸的是，我们仍然不知道定理1.8是否在更高的等级上也成立，也就是说，是否。然而，如果(Q, g)局部等距于维数为负弯曲对称空间的积[35]，以及实双曲平面的k倍积的商[75]，这是已知的。对于这些空格，(1.16)可以写成

我们将在第2.6节中计算商的常数c。例如，。这应该与定理1.1中的下界常数进行比较。

最小熵问题也可以研究体积熵，而不是用Busemann-Hausdorff体积对熵进行归一化。上面的许多讨论也适用于这些最小熵。

1.8 拓扑的压力

根据定理1.1,Reeb流不存在最小熵程序。此外，这种情况不能通过观察亚指数增长率来挽救，因为在拓扑熵的定义中，对于许多接触流形上的所有Reeb流的一些产率，用定理1.4来代替。

然而，根据拓扑压力增加拓扑熵会导致一个有意义的问题。给定一个与拓扑压力的每个连续函数和每个接触形式相关联的闭合接触流形，拓扑压力的定义和基本结果见[95，第9章]。我们回想一下拓扑压力的变分原理

式中为M上不变Borel概率测度的集合，为该测度的熵。定义

因为对于所有人，我们可以假设。结合定理1.1，我们得到

如果函数f不完全消失，这些边界是否可以被锐化，这将是很有趣的。我们的定理1.1的证明对这个问题没有帮助，因为(1.17)中的最大测度(所谓的平衡状态)可能与我们证明中的开卷分解没有任何关系。

目录

2 芬斯勒测地线流的体积熵

2.1 芬斯勒指标和它们的体积

本文用n维流形Q上的Finsler度规来表示一个连续函数，它是纤维向凸的，纤维向1次正齐次的，并且在零截面外是正的。芬斯勒度规F是可逆的。

对于由芬斯勒度规确定的单位圆盘，F是集合

这是原点的凸紧邻域。函数正好是闵可夫斯基规。中的单位副盘是的极坐标集:

式中为切向量与协向量之间的对偶配对。这是原点的紧凸邻域。

在紧凑的芬斯勒流形上有两种不同的体积概念在文献中被使用。从本文的角度来看，最自然的是福尔摩斯-汤普森卷，它可以定义为

在哪里

为Q的单位协盘束，其中表示对标准辛形式的n次外幂积分得到的标准体积形式，其中为欧几里得单位球的体积，当是Q上的黎曼度规时，归一化因子与Q的黎曼体积一致。

另外，霍尔姆斯-汤普森体积可以定义为一个合适的体积密度在Q上的积分。这里的体积密度是指线束上的范数，它的纤维是外代数的最高次分量，也就是说，张成的一维空间，其中是的基。当Q是可定向的，体积密度就是无处消失的微分n型的绝对值。体积密度可以对Q的任何非空开子集进行积分，得到一个正数。体积密度定义如下:给定Q集上任意体积密度

其中表示它的勒贝格测度在n维平行四边形上归一化为1这个平行四边形是由对基向量对偶的协向量张成的然后我们有

另一个常见的选择是考虑Busemann-Hausdorff体积，其定义为

体积密度是什么

这是Q上的任意体积密度，这是由向量组成的平行四边形上的勒贝格测量归一化为1。当F可逆时，Q的Busemann-Hausdorff体积与Q关于F引起的距离的n维Hausdorff测量相一致。

当芬斯勒度规F是黎曼时，两个体积都减小到标准黎曼体积。如果F是可逆的，那么

当且仅当F是黎曼级数时等式成立。这是由Blaschke-Santaló不等式推导出来的，参见例[43]。在不可逆的情况下，Holmes-Thompson体积可以比Busemann-Hausdorff体积大得多。注意，Holmes-Thompson和Busemann-Hausdorff体积都单调地依赖于Finsler度规，这意味着

然后缩放为

当芬斯勒度规F乘以一个正常数c。

2.2 体积熵

设F是紧致n维流形Q上的一个Finsler度规，这个Finsler度规提升到Q的泛盖上的一个Finsler度规，我们用同样的符号F来表示提升的度规，以F为中心的r球是以下紧致子集:

当F是可逆的，球上的距离是由F引起的吗;一般来说，它是一个不对称距离的向前球。

F的体积熵是非负数

这里表示的是关于Q上任意黎曼度规的升力的Borel子集的体积。对Manning[69]的论证的一个微小修改表明，上述极限存在，并且与点的选择和Q上黎曼度规的选择无关，参见命题A.1。对于由黎曼度规g导出的芬斯勒度规，我们可以互换使用这两种符号

体积熵在F中单调递减，这意味着

事实上，如果在Q上，那么同样的不等式成立，因此(2.4)意味着

由(2.6)可知。设c为正数。从同一性来看

我们推导出体积熵重标为

与(2.3)一起，这建议考虑归一化体积熵

这些量在缩放下是不变的:

由于Holmes-Thompson体积和Busemann-Hausdorff体积在黎曼情况下重合，黎曼情况下只有一个归一化体积熵，我们用

在接下来的两小节中，我们研究了任意芬斯勒度规的两种不同的归一化体积熵是如何根据合适的黎曼度规的归一化体积熵从下到上进行限定的。我们的论点遵循[6]，其中使用了类似的技术来推导收缩率的界限。

2.3 从可逆的芬斯勒到黎曼

设F为紧致n维流形q上的可逆Finsler度规，用对称凸体的内Loewner椭球表示，即在所有具有此性质的椭球中包含且体积最大的以原点为中心的椭球。这里的体积指的是任何平移不变量(它是唯一的，直到乘以一个正常数)。众所周知，内洛厄纳椭球是唯一的，约翰证明了它满足

参见[62]或[12]对这些结果的现代证明。用在每个切空间中是闵可夫斯基规的函数表示。函数G是一个黎曼度规的平方根:对于q上的某个连续黎曼度规G，事实上，G的连续性很容易从内洛厄纳椭球体的唯一性推导出来。从包含(2.8)中我们推导出不等式

由式(2.6)和式(2.7)暗示了界限

由式(2.2)和式(2.9)中的第二个不等式，(Q, F)的Busemann-Hausdorff体积有上界

为了得到(Q, F)的Holmes-Thompson体积的下界，我们可以利用(2.2)、(2.3)和(2.9)中的第一个不等式得到

然而，我们可以通过下面的论证得到一个更好的界限。满足的极集

的外洛厄纳椭球体，即在含有的椭球体中体积最小的中心对称椭球体。然后我们有

这是因为对称凸体K的外Loewner椭球体积与K的体积之比在交叉多面体中最大，这是Ball从Barthe的逆brascampp - lieb不等式[13，定理5]中推导出来的结果。因此，我们得到

哪个是比(2.12)更好的，而且是渐近的，因为

用斯特林公式。将式(2.1)、式(2.10)、式(2.11)和式(2.13)合在一起，我们得到如下结果。

命题2.1

设F是紧致n维流形Q上的可逆芬斯勒度规，设Q上的黎曼度规，其单位圆盘是F的单位圆盘的内勒夫椭球

2.4 从不可逆到可逆

设F是紧致n维流形Q上的任意Finsler度规，我们将度规F对称化，我们定义为Q上的可逆Finsler度规，其每个单位盘都是的反射体，即中心对称凸体

请注意,

F的不可逆性比，即数在哪里

它至少等于1，当且仅当F可逆时等于1。的确，(2.14)中的第二个包含是由这样一个事实得出的，即负单位元on的模与非对称范数F的模有上界，因此负单位元on的模与对F的非对称范数对偶的模也有上界

Rogers和Shephard在[86，定理3]中证明了这一点。由式(2.14)我们推导出

因此(2.6)和(2.7)的含义是

另一方面，由式(2.16)和式(2.17)中的第二个不等式，我们得到了Holmes-Thompson体积的下列不等式

边界(2.18)和式(2.19)暗示了以下结果。

命题2.2

设F为紧致n维流形Q上具有不可逆性比的Finsler度规，设S为可逆的Finsler度规，其双盘是F的双盘的反射体:

然后

由命题2.1和2.2的下界，结合斯特林公式，可得:

推论2.3

设Q是一个紧致的n维流形，用Q上所有黎曼度量g的极小值表示，则任意一个芬斯勒度量F在Q上的Holmes-Thompson归一化体积熵有下界

在哪里

而且，如果芬斯勒度规F是可逆的，我们有

话2.4

如果我们通过考虑差体而不是反射体来进行对称，那么我们会得到一个更差的边界，因为在这种情况下(2.16)中的因子必须被中间的二项式系数所取代，考虑到差体体积的Rogers-Shephard不等式，参见[85]。用反射体代替差体，用常数因子2代替量纲相关的量，可以改进[6]中定理4.13和推论4.14的收缩上界。

如果体积熵由Busemann-Hausdorff体积归一化，我们不会得到一个与不可逆性比无关的下界。由式(2.2)、式(2.3)、式(2.17)和式(2.18)可得

我们没有一个与。无关的下界，因为，不像体积比，这个比可以任意大。

另一方面，上界可以独立于不可逆性比，这一次，直接在TQ中对称:我们考虑可逆的Finsler度规T，它在q处的单位球是集合

对于这个度规，我们有

从中我们得到

此外，给出了反射体的Rogers-Shephard不等式

我们推导出如下结果。

命题2.5

设F为紧致n维流形Q上具有不可逆性比的芬斯勒度规，设T为可逆的芬斯勒度规，其在每个Q处的单位盘为反射体

F在q处的圆盘，然后

2.5 归一化拓扑熵的下界

我们现在假设Q上的(可能不可逆的)芬斯勒度量F具有更好的正则性和凸性:在零截面之外，是类的，并且其沿纤维的二阶微分是正定的。我们将把这样的F称为一个规则的芬斯勒度规。在这些假设下，F的测地线流动得到了很好的定义。我们用这个流的拓扑熵表示，用

熵的Holmes-Thompson和Busemann-Hausdorff归一化。曼宁的不平等

从[69]中得出的结论在Finsler条件下也成立，如定理A.2所示。那么推论2.3有以下直接的结果。

推论2.6

设Q是一个紧致的n维流形，用Q上所有黎曼度量g的极小值表示，则Q上任何正则的芬斯勒度量F的Holmes-Thompson归一化拓扑熵有下界

在哪里

而且，如果芬斯勒度规F是可逆的，我们有

2.6 具有小拓扑熵的芬斯勒度量

下面的结果比命题1.12更精确。

命题2.7

设为一个列的非紧型黎曼全局对称空间。设G是等距群的恒等式的连通分量。则存在只依赖于下述性质的可计算常数:对于G的每一个不动点作用于上的离散协紧子群，并且存在一个光滑可逆的G不变芬斯勒度量F，使得

特别是，和。

证明

固定一个点，设为稳定器，设和为G和K的李代数，设为与的Cartan分解。(当时)。选择一个极大的阿贝尔子代数，设为它的Weyl群。

上的g不变芬斯勒度量的集合与这个集合是双射的

一般来说，与之相关的Finsler度规只有连续的，并且当且仅当C的边界是光滑的，它才是光滑的。设为第1卷中的“最小凸”体。(关于细节，我们参考[93]，但是从下面的例子2.8应该可以清楚地知道如何构造。)因为，不只是一个线段，因此不是一个椭球体，也就是说，与之相关的芬斯勒度规不是黎曼度规。其实并不顺利。Verovic证明了它是所有g不变连续Finsler度量中唯一的最小值。特别地，由定义的常数

严格小于1。有一个简单的公式，可以根据Weyl数据计算这个常数。

固定，选择一个光滑的身体，从这样的

设F为相关的芬斯勒度规。然后

参见第2.2节。由于是非紧型，G是半简单的，例如参见[99，命题6.38 (d)]。因此，由[40，定理6.3(2)]可知，F具有负标志曲率。因此，将Manning等式推广到[44，定理6.1]中的可逆Finsler度量中，意味着

(2.21)从(2.24)、(2.23)和(2.22)开始。

定义常量

由(2.1)和Santaló不等式，。重复上述参数，我们得到(2.20)。

例2.8

1. 设Q是第k阶对称空间的紧商，最大阿贝尔子代数为，具有Weyl室。的标准基的对偶基给出了正根的集合。

标准黎曼度规g在Q上对应，直到缩放，对应于闭合单位球B，我们取非光滑的芬斯勒度规对应于有顶点的交叉多面体。[93]中的提案2.2表明

我们分别地。做一个单位球。G。根据和g的g不变性，并根据2.1节中Busemann-Hausforff体积的定义，

引理2.9

(2.25)右边的商等于。

证明

我们有和。对于，当和，在正交基上的计算表明，点的轨道是经过p的圆。一般来说，的-轨道是由半径圆组成的k环面。由于和g的限制是-不变的，可以得出式(2.25)右边的商等于这两个积分的商

第一个积分等于第二个积分等于用傅比尼定理和归纳法。

结合引理我们得出

接下来我们计算福尔摩斯-汤普森体积。分别用和的极集表示，用对偶黎曼度规表示。根据和g的g不变性，并根据2.1节Holmes-Thompson体积的定义，

利用这个和，交叉多面体的极坐标集是单位立方体，然后计算

我们发现式(2.26)的右商是k!因此,

由[75]可知

结合定理1.2和命题1.12，我们得到

序列是单调的，递减到，从

序列单调递减到，从

相反，序列是单调递减的，从

该常数的计算方法如下。对称度规的体积熵的最小值可以通过的倍数精确地得到，其中g是恒定曲率的度规，参见[35，§2]。因为，我们有。因此

例如，如果Q是属的可定向曲面的乘积，则

2. 取秩为2的5维对称空间。“最小凸”体是正六边形。我们缩放这个六边形使它是单位圆盘B上的六边形。Verovic在[93,p. 1644]中计算，对于对应的Finsler度量，体积增长为2。因此对应的芬斯勒度规的体积增长。更进一步，对应于B的黎曼度规的体积增长为。

为了计算体积，因为它是三维的，我们现在必须考虑密度。除以B和除以的积分分别是，和

有了这个，我们发现沿着前面的例子的路线

的极集是一个以单位共盘为界的正六边形。通过内积确定后，我们得到由膨胀和旋转得到的。所以除以的积分是

因此,

这两个常数应与推论2.6中的下界常数进行比较。

中的副盘

问题2.10

回想一下，非光滑Finsler度量是q上g不变连续Finsler度量中唯一的最小值。这个Finsler度量具有高度的对称性:它在Weyl群下是不变的，并且它是g不变的。由于在定理1.3和1.8中黎曼最小值是局部对称的度量，人们可以期望在q上的所有连续芬斯勒度量中最小化，这是否意味着没有光滑的最小值?

3.球化条件下Reeb流的低熵界

回顾定理1.1,Reeb流的归一化拓扑熵不可能有统一的下界。在本节中，我们将表明，对于许多基流形Q，人们仍然可以根据定义星场的几何形状来控制Reeb流在球化时的熵塌缩:熵塌缩只有在某些纤维远离凸的情况下才会发生。这个证明依赖于花的同源性。

我们考虑一个封闭流形Q和两个Reeb流，一个是任意流，一个是Finsler流。如前一节和附录B.1所示。然后我们有两个哈密顿函数，它们在纤维上是1次正齐次的，光滑的，离零点部分是正的。我们用氢原子的流动来表示，f的流动也是一样，设和为最小的正数，使得

对于联合磁盘束，我们有

见图4。

数量

当且仅当对于某个正数c，我们有相等的。此外，如果H是可逆的芬斯勒哈密顿量，并且F被选为与外洛厄纳椭球体相关的黎曼哈密顿量，见(2.8)。

命题3.1

设F是封闭流形q上的一个(可能不可逆的)正则Finsler度规，那么对于每一个光滑的Reeb流，我们有

证明

缩放F后，我们可以这样假设。我们缩写。

引理3.2

．

证明

引理可以从[68]中提取。我们简单回顾一下证明。我们不用和，而是用哈密顿流和其中一个函数和。然后继续。利用变分原理对拓扑熵和同质性进行求解

固定一个点，我们可以进一步估计，使用Yomdin定理从[96]和-平滑，

这里表示子流形关于黎曼度规g在q上对S的限制的黎曼体积。在定理4.6和[68]的第5.1节中，拉格朗日花同调表明，对于每一个都存在这样的条件

其中为Q的基本群中可以用一个长度为f的环表示的元素数量的指数增长率。这一点很容易看出。([60, Prop. 9.6.6]中给出的黎曼F的证明不加改变地适用于一般的芬斯勒度规。)引理随之而来。

鉴于包含，我们从引理3.2推断

声称。

我们现在定义H比的星形模

虽然一个个体即使在黎曼哈密顿H中也可以很大，但这个数字是纤维的最大星形性或非凸性的度量。例如，当且仅当H是Finsler。从命题3.1和推论2.3我们得到如下的结果。

推论3.3

设Q是一个封闭流形。对于每一个平滑的Reeb流

话3.4

1. （1)

   在非正则可逆的Finsler hamilton算子的特殊情况下，将命题3.1应用于黎曼度量和Loewner界(2.8)得到一致的下界

   即使在这种特殊情况下，这个下界来自于花同调和下界只是比下界稍微弱一点

   来自于曼宁不等式和下限的推论2.6。实际上，回想一下，函数是严格单调递增的，随着

2. （2）

   在H是芬斯勒哈密顿量，F是黎曼哈密顿量的情况下，我们通过估计得到了第2.5节引理3.2中的不等式

   第一个不等式，即曼宁不等式，也适用于非平滑的Reeb流，见定理A.8。第二个不等式在Finsler情况下成立，考虑到球的包含(2.6)，它是由三角形不等式推导出来的。但是在Reeb的例子中不存在三角形不等式。花同调(或者更准确地说:由j全纯带的花- gromov紧性定理派生的花延拓映射的性质)弥补了这一点。

3. （3）

   命题3.1和推论3.3只有当且为正时才有意义，且只有当基本群Q呈指数增长时才有可能。[68]中的结果暗示了命题3.1和推论3.3对于许多其他流形的有意义的变化。例如，假设Q是单连通流形，使得基环空间的-同调度的维数的指数增长率为正。然后

   有一个正常数C(F)，它在F的变换下不会改变。

4. （4）

   我们参考[38]对Floer同调技术所隐含的拓扑熵的连续性特性进行了深入的研究。

4 三维Reeb流的熵塌缩

在本节中，我们在3维中证明定理1.1。

4.1 打开的书本上的回忆

在这一段中，我们收集了我们证明所需的开卷结果。有关更多信息和细节，请参阅[46]和[52，§4.4]。

设M是一个闭合连接可定向的3流形。对于M，打开的一本书是一个三重体，其中有一个紧致定向曲面有一个非空边界并且是一个微分同构即边界附近的恒等式使得有一个微分同构从

这里表示映射环面

其中，和为封闭单元盘。把端点确定的区间写成。流形M因此被表示为映射环面和有限多个完整环面的并集，每个环面对应一个环面的边界分量，并被单位映射粘在它们的边界上

我们注意到微分同态

是打开的书的定义的一部分。这是另一个微同构，即边界附近的同一性，通过同位素固定每一点的，则是微同构。我们还注意到，我们所说的打开的书在文献中通常被称为抽象的打开的书分解。

对于每一个都用与半开环并的差同态下的像表示

的闭合，称为页面，是微分同构的，而页面的共同边界，称为打开的书的装订，是图像下的。的方向诱导了页面和绑定的方向。

如上所述，对于每一个3流形M，都有几种不同的漂亮的构造证明了一个开卷的存在。这些构造中的第一个是由J. W. Alexander[5]早在1920年给出的，他使用了他的发现，即每一个这样的M都是沿着一个连杆分支的3球的分支覆盖，并且每一个连杆都可以作为一个辫的闭合，参见[87,p. 340]。亚历山大的构造实际上提供了一个开放的书，只有一个边界分量。

联系结构。设M是一个闭合连通的定向3流形，M是一本打开的书。

定义4.1

M上的联系形式据说是适应于打开的书

• 是正的，

• 是每页内部的正面区域形式。

不难看出，联系人表单适用于打开的书，当且仅当

• 里布向量场正横向于书页内部，

• Reeb矢量场与结合点相切，诱导结合点的正方向。

定义4.2

如果存在一种适合于这种打开的书的接触形式，那么触点3流形就被称为由一本打开的书支持。

话4.3

如果一个接触3流形是由一本打开的书支撑的，这是另一个微分同构，是临近的同构，这是同位素，通过点固定，然后也由一本打开的书支撑。这很容易从这样一个事实中得出:对于这样一个a，存在一个从到的微分同构，它需要一页一页的篇幅。

吉鲁的以下结果显示了打开的书在三维接触拓扑中所起的中心作用。

定理4.4

(吉鲁)给定一个闭合连通的定向接触3流形，存在一个M支承的开卷。此外，打开的书可以选择连接装订。由同一翻开的书支撑的两个接触结构是微分同构的。

关于第一个命题和第三个命题的证明，我们参看[53，定理3和命题2]和[46，定理4.6和命题3.18]。在[46，推论4.25]和[34]中，可以假定绑定是连通的。

4.2 第三维度的熵塌缩证明

现在我们继续证明本节的主要结果。

定理4.5

设为3维的闭合共取向接触流形。然后每个人都有一个联系表单。

虽然我们的证明在不连通的情况下是准确无误的，但在连通的情况下，我们的论证中的几何结构更容易可视化，所以我们假设这个性质。

证明的结构如下。

• 如定理4.5所示，我们使用定理4.4中的第一个陈述来得到M的一个开卷，它支持。

• 然后，我们应用Thurston-Winkelnkemper的经典配方来为每个联系人构建适合于和的联系表单。

• 由定理4.4的第二个表述可知，它是微同构的，它是一个微同构的。因此，一个具有定理4.5中所断言的性质的联系形式。

对于的构造，我们首先在带有和的所有小接触形式的映射环面上构造。至关重要的是，在这些接触形式的边界附近，它们扩展到整个环面上的接触形式(也表示)，这样Reeb流在每个环面上都是线性的。因此，即使Reeb向量场在全环面内部“爆炸”(见图7)，全环面上的拓扑熵对于所有s都消失了。Since also，我们发现对于所有小的。这个形式现在是通过取s小并重新缩放得到的。

定理证明4.5

第一步:一个家庭的联系形式。根据定理4.4存在一个M的开卷，它支持。我们首先选择一个领社区，其上是身份。因此N是微分同构的，我们有N的极坐标(r, x)其中x是角坐标，使得的边界对应于。

根据注4.3和莫泽的同位素定理，我们可以假设这个微分同构是的复同构。既然消失了，那么在N上存在一个等于的原语。

的邻域N

现在我们在映射环面上为每个足够小的接触表单构造一个接触表单。对于这个，设为平滑单调函数，使得，并且在。定义1-form

根据的性质，每一个1-形式下降到1-形式，我们仍然用。使用它是我们计算它的一个复形态

因此，存在这样一个面向所有人的联系表单。

现在我们计算Reeb向量场。我检查一下

Y是与所有向量相切的向量场并且满足

由式(4.3)可知，与各表面正横向。

下一个引理给出了s足够小时的上界。注意到讨论它是有意义的，因为它是紧致的并且相切。

引理4.6

存在这样一个常数，对于每一个，

证明

为每一个人选择合适的。对于每个这样的s定义函数。然后为我们所拥有的一切。根据Ohno[79]的结果，对于紧流形上的一个非消失向量场X和一个正函数f，

它是这样的。

第二步:一个家庭的联系形式。我们在映射环面上构造了一组接触表单。我们现在希望将这些表单扩展到上的联系表单。对于这个，设V是定义为

每个人在哪里。在V上，联系人表单如下所示

式中(r, x)为上面引入的N上的坐标，

我们继续构建每个接触表单，其中再次是封闭单元磁盘。考虑极坐标和坐标。然后我们可以考虑坐标。我们选择一个平滑函数

• ，

• 在邻域为1时，

• 在邻域为0时，

我们选择另一个光滑函数满足

• 在(0,1)上，

• 所有g的导数都在1处消失，

• 在邻域为0时，见图6。

函数f和g

定义1-form

上。然后

在哪里。它遵循的是一个联系表单。对于接近0时，我们有，从那里延伸到上的光滑接触形式，我们也用。的Reeb向量场由

由此可见，它与环面相切，并且对于每个流都是线性的:

特别地，通过f和g的选择我们可以看到，在边界环面上，它与整个环面的核心圆相切，并给出正方向。此外，(4.8)显示正横向于半开环空(见图7)

整个环面上的Reeb流是可积的。更精确地说，的核心圆C是的周期轨道的轨迹，由流动不变环面分叶，在环面上是线性流动(4.9)。这些线性流的拓扑熵当然消失了。通过拓扑熵的变分原理，我们发现

和环的一些向量

步骤3:m上的一组接触形式。我们首先观察到坐标和，r和，x和是通过用来粘和的识别图粘在一起的。因此，它们延伸到上的坐标

根据式(4.5)和式(4.6)对V和on的接触形式，这两个接触形式粘接在一个光滑的接触形式上。

如上所述，Reeb向量场正横向于内表面和内环空。也与核心圆C相切，给出正方向。的Reeb向量场与打开的书的书页内部正横，与打开的书的装订正相切。根据定理4.4，接触结构是微同构的，是微同构的。总结一下，存在微分同态

与。

步骤4:估计的体积和拓扑熵。Reeb流的叶是紧集和不变量。由于这些紧集覆盖M，并且由于和，由[60，命题3.1.7(2)]和引理4.6和(4.10)可得

我们分解as的积分

第一个和式是(4.2

要估计式4.13中的第二项，我们使用式4.7:

因为右积分是有限的，所以它也是

由式(4.13)和式(4.14)可以得出

第五步:结束校对。由式4.16可知，假设存在这样的

定义我们得到

由(4.12)和(4.17)

结合式(4.11)，并考虑到拓扑熵的共轭不变性，得到了1卷上的一种接触形式，最多为拓扑熵。

问题4.7

看看在属2的封闭可定向表面上的球化情况下，上面证明中使用的开卷分解是什么样子的，这将是很有趣的。由于我们的联系表单的构造是显式的，因此可以理解对应于的星形字段。考虑到(1.11)，有些星星肯定是很尖的。这些恒星中有多少尖刺?