摘要

提出了一种分数阶导数多相滞后模型，研究了磁场和旋转对两种温度下厚空心圆筒的影响。用谐波分析方法讨论了该问题的基本无量纲方程。利用Matlab软件进行了数值计算。在不同的旋转和磁场值下，与精确相位滞后理论的结果进行了比较。在分数阶参数不同取值时，还与精化相位滞后理论的结果进行了比较。从目前的调查中推断出了一些特别有趣的特殊案件。

1 介绍

经典热弹性理论有两个矛盾，一是热场的传播速度是无限的，二是热场的弹性变化对温度没有影响。Lord和Shulman[1]提出，代替经典的傅立叶定律，波型热传导包含了热流矢量及其时间导数，以及新的热松弛。Green和Lindsay[2]发展了具有两个热松弛的广义理论。Green和Naghdi[3]认为不考虑热能的耗散。Tzou[4,5]提出了一种称为双相位滞后(DPL)的模型。利用该模型可以方便地研究微观结构中的传热问题。Chandrasekharaiah[6]提出了一个DPL模型来修正经典热弹性。Choudhuri[7]给出了热弹性的三相滞后模型。Zenkour[8]利用修正的耦合应力分析讨论了微梁热力学响应的一种改进的双温多相滞后理论。Othman等[9]研究了重力和激光脉冲作用下具有扩散的微拉伸热弹性介质的双相位滞后模型。Said等[10]利用分数阶导数传热热弹性多相滞后研究了波在非局部纤维增强热弹性介质中的传播。Alharbi等人[11]讨论了多相滞后和科里奥利加速度对纤维增强各向同性热弹性介质的影响。Said和Othman[12]采用三相滞后模型介绍了波在双温纤维增强磁热弹性介质中的传播。

分数阶微积分已被用于修正热传导、扩散、粘弹性、固体力学、控制理论和电学等领域的许多现有物理过程模型[13,14,15,16]。Povstenko[17]提出了一种准静态解耦合热弹性理论，该理论基于具有时间阶导数的热传导方程。Youssef[18]构造了一个分数阶热传导的新考虑，其唯一性定理也得到了认可。Abouelregal[19]用分数阶理论解决了具有温度相关性质的半无限压电介质问题。Yu等[20]建立了分数阶广义电磁热弹性理论，提出了分数阶参数的影响。分数阶导数的各种方法和定义已经成为众多研究的主要对象(见[10,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34])。

各种变换技术和温度分布方法都注意到空心圆筒存在的问题，用汉克尔变换技术确定了热应力;拉普拉斯变换技巧，格林定理，等等。贝塞尔函数发现它适合于表面和端边界条件之间的一致。Chen[35]考虑了横向各向同性空心圆柱体求解线性热弹性问题。Youssef[36]研究了受移动热源作用的圆柱形腔的广义热弹性无限介质。Othman和Abbas[37]研究了具有能量耗散的均匀各向同性空心圆柱体中的热冲击问题。Manthena和Kedar[38]研究了具有温度依赖材料特性的功能梯度厚空心圆柱体的瞬态热应力分析。Said[39]用G-N理论解决了半空间的广义磁热弹性问题。许多研究者已经对空心圆筒的问题进行了研究(参见[40,41,42,43])。

本文的目的是在多相滞后模型的背景下，考虑一个具有两个温度的旋转厚空心圆柱体在磁场的影响下。为了估计和突出磁场、温差、双温参数和旋转的影响，得到了物理量的数值结果，并用图形表示。

2 des问题的描述

我们考虑一个热弹性固体占据了一个内半径和外半径的无限长空心圆柱体的区域。我们将使用一个柱面坐标系(r， θ， z)，其中z轴与柱面轴重合。此外，我们认为圆柱以角速度均匀旋转，其中n是代表旋转轴方向的单位矢量。假设介质的初始状态为静止状态，圆筒的外表面无牵引力且受谐波变热，而内表面隔热且无牵引力。由于问题的径向对称性，所有考虑的场都是且仅是位移向量的函数(见图1)。

图1

无极空心圆筒的原理图

应力-位移-温度关系为Chandrasekharaiah [6]

(1) (2)

应力的分量在哪里，弹性常数在哪里，高于参考温度的温度在哪里

（3）

Schoenberg和Censor的运动方程[44]

（4）

式中为旋转引起的体力分量，为恒定强度的磁场存在引起的洛伦兹力分量，如Abbas[37]。

（1)
热传导方程为Zenkour [8]， Youssef [18]， Miller and Ross [21]， Podlubny [22]
(5) (6)
式中为导热系数，为质量密度，为恒应变比热，为第一松弛时间，为温度梯度的相滞后，为热流的相滞后，为根据热弹性理论取值为0或1的参数，为导电温度，称为双温参数的常数，和。的值可以达到5或更多，根据所需的细化相位滞后(RPL)理论。

确定分数阶导数为:

（7）

为阶的Riemann-Liouville积分算子:

（8）

其中是函数，是一个勒贝格可积连续函数，满足。

(9)

为方便起见，我们使用无量纲变量为:

（10）

用方程式。(1)(2)(10)，然后是方程。(4)、(5)为

(11) (12)

其中，，，。

方程(11)两边同时乘以，然后对方程(11)两边使用算子，我们得到

（13）

3.的harmoNic波分析法

我们用谐波分析解决了广义热弹性问题:

（14）

式中，等为函数等的振幅，(复)为时间常数。

谐波分析实际上包括在傅里叶变换域中寻找解。

假设所有的场量在实线上足够平滑，使得这些函数的谐波分析存在。

用方程式。式中(14)(12)(13)得到

(15) (16)

在哪里

方程的解。(15)和(16)是:

（17）

在哪里

式(17)的解可表示为:

(18) (19)

式中为参数，为第一类和第二类阶次的修正贝塞尔函数。为以下特征方程根的正实部的平方根:

(20) (21) (22)

利用上面的方程，我们得到

(23) (24) (25) (26)

在哪里

4 边界条件

边界条件可表示为:

（27）

其中是常数，是任意函数。

引入方程式。(27)到方程。(23 24 25 26)我们得到

(28) (29) (30) (31)

求解上述方程组。(28,29,30,31)，我们得到

(32)

在哪里

（1)
从上述情况出发，用
（2）
在上述情况下，用
（3）
从上述情况出发，用
（4）
耦合热弹性(CT)理论，如果取，则上述分析减少为理论。
（5）
Lord-Shulman理论，如果我们采用。
（6）
没有能量耗散的G-N: II理论，如果我们取。
（7）
得到Tzou[4]的简单相位滞后(DuaL)模型，若，，。
（8）
给出了细化后的相位滞后模型。

6 数值结果及讨论

现在我们考虑一个数值例子，并给出了计算结果。将铜材料作为热弹性材料，将其不同物理常数取为Abbas[38]。所用参数的单位均以国际单位制给出。

用MATLAB R2007b编程语言编写了数值代码。在这些情况下，对位移分量、应变、热力学温度、径向和环向应力与半径进行了比较

案例一:磁场、旋转和双温参数的影响。

（1)
用实线细化了具有磁场和双温的旋转厚空心圆筒的相位滞后。
（2）
双温(无磁场)旋转厚空心圆筒[RPL(RT)]的细化相位滞后以带点的虚线表示。
（3）
在具有双温度和磁场(无旋转)[RPL(HT)]的厚空心圆柱体中，细化相位滞后用星形虚线表示。
（4）
带磁场(无双温参数)的旋转厚空心圆筒的细化相位滞后[RPL(HR)]以虚线表示。

案例二:不同的热弹性理论，即;细化相位滞后理论(RPL)、II型Green和Naghdi理论(G-N: II)、Lord和Shulman理论(L-S)和耦合理论(CT)。

情况III:分数阶参数()的不同值，在存在磁场、旋转和双温参数的情况下。

图2、图3、图4和图5(情形1)显示了磁场、旋转和双温度参数对物理量随径向距离在范围内的影响。图2描述了水平位移相对于径向距离的空间变化。可以看出，磁场、旋转和双温度参数的存在对水平位移的影响呈递减趋势。图3、4和5表明，RPL(HRT)的应变、热力学温度以及径向和环向应力的值比RPL(RT)、RPL(HT)和RPL(HR)的大，这意味着磁场、旋转和两个温度参数的存在对这些变量的影响越来越大。

图2

在不同的旋转和磁场值下，位移随半径的变化

图3

不同旋转和磁场值下应变随半径的变化

图4

不同旋转和磁场值下热力学温度随半径的变化

图5

不同旋转和磁场值下径向应力随半径的变化

图6、7、8和9(情形二)显示了在不同热弹性理论下和不同热弹性理论下一些物理变量的变化，即;细化相位滞后理论(RPL)、II型Green和Naghdi理论(G-N: II)、Lord和Shulman理论(L-S)和耦合理论(CT)。图6描绘了定理之间的相对差异，可以看出;在方向上，G-N: II理论给出的值最小，CT理论给出的值最大。图7、8、9分别给出了应变热力学温度、径向应力和环向应力的变化情况。可以观察到，沿着方向，CT理论给出了这些变量的最小值，而G-N: II理论给出了最大值。

图6

不同理论的位移与半径的变化

图7

不同理论的应变随半径的变化

图8

不同理论的热力学温度随半径的变化

图9

不同理论的径向应力随半径的变化

图10、图11、图12和图13(情形III)分别显示了无因次位移应变、热力学温度以及径向和环向应力的变化情况，说明了分数阶参数对所考虑变量变化的影响。考虑分数阶参数的两种不同值()。在这种情况下:值得注意的是，分数阶参数更加明显，并且对所有考虑的函数都有重大影响。从图中可以看出，除位移值减小外，所考虑的变量均随分数阶参数的增大而增大。

图10