摘要

解复化过程允许人们在数学上(严格意义上)显示具有有限个基态的系统的量子动力学与经典动力学系统之间的等价性(同构性)。这种连接不同动力学的独特方式在过去被用来分析Berry发现的量子演化中著名的几何相位及其推广之间的关系，以及它们在经典领域的类似物，Hannay相位。本文对几个量子厄米和非厄米pt对称哈密顿量进行了分析，并与经典同构等效系统中的Hannay相分析进行了比较。由于等效性结束于振荡动力学的经典域，我们利用类比提出了与旋转器耦合的谐振电路，以在模拟实验室实验中再现来自理论解的几何相位。

1 介绍

我们主要对经典系统和量子系统之间的联系感兴趣，出于这个原因，我们开始注意到Schrödinger动力学是在复杂空间中定义的，而我们感兴趣的经典动力学意味着真实的进化方程。因此，有必要从一个允许人们在公共空间中工作的解复杂过程中获利[1]。利用这个过程，证明了[2]量子动力学和经典动力学之间的数学等价，以一种独特的方式定义了一个同构，在两个系统的描述之间建立了对应关系。

在最近的一篇论文[3]中，研究了几何汉内角的测量[4]与福柯摆的联系，利用了一个带有旋转器的模拟电路，该电路提供了一种在实验室中模拟摆的方法。这种电振子与几何相之间的分析和联系，促使我们理解并举例说明了经典几何相与众所周知的量子相之间的明确联系[5]或其推广[6]，这是基于前面提到的参考文献中经典动力学与量子动力学之间的数学等价。[7]。

在这里，我们讨论了几个有趣的量子系统的量子相位和经典几何相位之间的关系，这些量子系统是用带有旋转器的特定模拟电路来描述的。我们知道，我们的分析概括和简化了[8]和[9,10,11]的结果。为此，我们首先在第2节中回顾解复化的数学形式[1]和有效哈密顿量[2]的等效经典运动方程的构造。在第3节中，我们通过精确求解Schrödinger方程来计算量子演化过程中厄米哈密顿量的几何相位，并将结果与先前使用导致汉内相位的经典哈密顿量的工作进行比较。在这些例子中，我们明确地验证了量子几何相位与经典角度之间的关系[12]。

20多年来，非厄米pt对称哈密顿量[14]一直受到人们的关注，因为在某些参数范围内，它们具有实数特征值。Gu等人[15]部分回答了一个可能的问题，即这种扩展量子力学中众所周知的几何相(Berry[5]或Aharanov和Anandan相[6])与标准厄米特哈密顿相相比如何。通过解复过程[1]找到这些几何相位与数学上等价的经典系统[2]的经典相位(Hannay角[4])之间的关系也是很有趣的。因此，我们将几何相位的计算和比较推广到pt对称量子非厄米哈密顿量。

在第4节中，我们建立了量子分析与等效经典类比的对应关系，这些类比导致方程完全类似于由旋转器耦合的谐振电路的方程。这些结果使我们在第5节中提出并模拟了测量等效几何相的简单实验室实验。过去对二聚体和三聚体体系也进行了类似的尝试[16]。在最后一节，我们对我们的研究得出了一些结论。

2 量子系统的经典类比

我们首先描述解复化形式，它定义了量子系统的经典模拟，以建立量子动力学和经典动力学之间的联系，最终得出系统在电路方面的模拟描述。这种类比导致可行的实验室实验，有助于理解复杂的概念，如几何相位。

2.1 量子哈密顿量的解复化

让我们回顾一下量子哈密顿量的解复化过程[1]。系统的量子演化由Schrödinger方程控制

我们使用除非需要强调量子效应。对于一个双组分系统，哈密顿函数H是一个矩阵，它的矩阵元素通常是复的，最终是与时间相关的。而且，H可以是厄米算子，也可以是作为有效哈密顿算子的非厄米算子。在这种情况下，是一个双分量向量。

我们用H的实部和虚部来明确地写出Schrödinger方程，

和

为了简化符号，我们引入

分离实部和虚部，我们得到

和

用矩阵符号，我们可以把这些方程写成

这一结果与Arnold[1]中提出的限于二维的一般情况一致。

让我们引入进一步简化的符号

和

因此，一阶微分方程为。(2)和(4)变成

这些方程可以很容易地转化为两个分离的关于x和y的二阶微分方程，即

从数学的角度出发，我们将量子演化方程转化为耦合谐振子的一对方程。当然，上述过程可以立即推广到有限任意维的哈密顿量的情况。Schrödinger方程与谐振子之间的联系也通过使用不同的技术得到[17]。

2.2 有效哈密顿

让我们把这种形式应用到有效哈密顿量的标准表达式上

对于两个自由度的M和是厄米矩阵。这些矩阵可以对角化，并且它们对应的特征值是实数。

我们感兴趣的是概率密度在不同情况下与M和形式相关的行为。从Schrödinger方程及其伴随方程中，可以立即发现状态函数的模量随时间的变化

这个表达式表明，概率密度由-矩阵的结构控制，即根据-矩阵的结构，概率将保持不变或随时间衰减。

这个矩阵的特征多项式由

因此，由的特征值驱动的概率密度的演化取决于矩阵的迹和行列式。

让我们研究一下物理利益的案例。首先，which和which的情况意味着它的特征值是正的。那么，矩阵最简单的形式是

的形状，概率密度会随时间减小。

第二个例子是时间和。具有这些属性的一个简单形式是

这种特殊的形式意味着进化是由

这里，与前面的情况不同，右边的项没有一个确定的符号。然而，一个具有相同性质的-矩阵可以通过交换s和的位置来表示，

结果是

因此，两个等式只有在以下条件下才能满足

因此，在这种情况下，概率密度是守恒的，即使哈密顿函数有虚部，当然是这个非常特殊的结构。这种哈密顿量是著名的pt对称非厄米哈密顿量[13]的一个例子，我们将在下面详细讨论。

让我们通过考虑具有相等对角元素的厄米二维哈密顿量来继续我们的分析

在这种情况下，上面的矩阵A和B变成

这些矩阵定义了等效耦合谐振子问题Eq.(5)。

让我们讨论一些例子:

1. (i)

   案例:。这种情况与两个谐振电路电感耦合的经典模拟有关[8]。它还有一个由弹簧连接的两个钟摆组成的机械模拟。类比很容易从A和B矩阵的对应值中看出，

2. (2)

   箱子。这种情况具有由一个旋转器耦合的两个谐振电路的经典模拟。记住，旋转器是两个端口的非互易无源元件[22]，具有给定的电导。在这种情况下，关系是由对应的A和B矩阵确定的，

   在这两种情况下，微分方程都是用状态变量来表示的，即每个部分电路中的电压。值得一提的是，该电路网络还与二聚体有关，二聚体是由两个单体通过键连接而成的低聚物[23]。当耦合是电感时，它似乎与电压变量直接相关，而在旋转器的情况下，耦合与微分方程中电压的一阶导数有关。最后一种情况在[3]中与福柯摆联系在一起进行了分析。

目录

3.量子和经典几何相

我们将回到量子系统与谐振电路的经典模拟之间的关系，但接下来，我们将使用Aharonov和Anandan[6]求解Schrödinger方程的方法，继续研究与有效哈密顿量的量子演化相关的几何相位，并将其与经典几何相位模拟[4]的Hannay角进行比较。

3.1 埃尔米特哈密顿

在与厄米哈密顿量驱动的量子动力系统相关的传统希尔伯特空间中，一般的二维量子态可以写成

其中和分别表示H的特征态，特征值和。在希尔伯特空间的布洛赫球上表示时的初始状态为

我们现在代入与时间相关的Schrödinger方程

求出方程(10)的通解，得到a(t)和b(t)的微分方程

它们的解是

因此，得到通解

其中参数和被初始条件固定，变成

最后，通解为

我们把它写成

由这个表达式，我们可以确定所考虑的系统将在给定的时间T后返回到初始状态

当国家采取这种形式

这个表达式表明，在进化之后，量子系统返回到初始状态，但获得了一个总额外相位

这个总相位除了包括标准的动力学相位外，还包括另一个几何起源的Berry-like相位。为了检测这种几何相位，我们计算了与演化相关的动态相位

产生

量子几何相位[5,6]由式求得。(十二)、(十三)

它的几何起源很明显，因为它与h决定的动力学无关。此外，除了因子2和符号变化外，这个相位与经典等效系统的汉内角[4]一致，正如在[3]中确定的那样，

在这里，相位是用通常表示的经度来表示的。

式(15)明确显示了经典汉内角与量子相位的关系，即

这是一般结果的一个特例[12,24]

式(16)中的因子2来自量子真空对谐振子能量的贡献[12]。

3.2 Non-Hermitian PT对称的哈密顿

在量子力学中，表示可观测值的算符的基本性质是厄米性，因为这些算符具有实数特征值，可以被认为是与相应的物理大小相关的可测量量。每当开放系统表现出能量、粒子和信息流时，它们都用非厄米哈密顿量来描述，通常与量子态范数的衰减有关。在非厄米哈密顿量中，那些服从奇偶时间(PT)对称的哈密顿量是特别有趣的，因为它们在描述物理开放系统时可以承认实特征值，这些系统在周围环境中表现出平衡的损失和收益[18,19,20]。此外，作为一个参数，我们称之为它，它与H的非厄米性程度有关，发生变化，发生自发的pt对称性破缺(见附录)，特征值的真实性质丢失，它们变得复杂[13]。在pt对称相中，pt对称哈密顿量只是用厄米哈密顿量描述的同一系统的另一种表示[21]。这就解释了为什么在pt对称相位中特征值是实数。

让我们研究以。为特征的二维系统

在特征值

可以写成

与

注意在极限情况下，哈密顿变成了厄米。如果，两个特征值都是实数，并且哈密顿函数中的pt对称也存在于解中。对称是不被打破的。这个特殊的值被称为一个例外点，在这个点上出现pt对称的自发破断，特征值从此成为复共轭量。

为了澄清几何相位的分析，并且由于M和H的分量不交换，有必要使用双正交量子形式[25]。

考虑对称的情况。动力学方程由

初始条件

其中和是h的特征态回想一下，这些状态不是正交的，但是它们定义了空间上的一个完整基。

动力学的通解为

其中和表示H对应于上述特征函数的特征值。人们可以调整系数并重现所选的初始条件。然后,

和厄米情况完全相似。

现在，我们确定系统在进化后回到初始状态所花费的时间T。为此，我们将状态写成

并得出结论

在这个时间T之后，状态获得了一个额外的阶段，因为

与

下一步是从几何相位提取。要做到这一点，我们需要计算动态相位，这是由一个表达式计算得出的，由于所使用的基向量的非正交性[25]，该表达式的数学结构与厄米情况略有不同，即:

这里是状态但现在用底表示，H的厄米共轭，

和是非正交基的向量。由于和可以归一化向量积[25]，则

因为我们在pt对称不被破坏的区域因此特征值是实的，我们有

因为

一种结论是我们已经恢复了厄米情况的结果。因此，动态相位和几何相位与厄米情况相同。这个结论只在pt对称有效的-参数区域有效。

4 与Reso的经典类比nant电路

我们现在从前面讨论的经典模拟方程(5)的角度重新审视几何相位。我们首先回顾经典问题中汉内相的分析，然后继续讨论具有pt对称非厄米哈密顿量的量子系统中的几何相。

4.1 经典福柯摆

等效于福柯摆的电力系统的微分方程包括一个旋转器的耦合[3]，

和。其过程是将耦合项对角化，最终得到一对二阶不耦合方程。

对角化耦合项

我们得到它的特征值，和它的特征向量从而得到等价的解耦方程

新变量y与之前的x一直相关

上面方程的解是。的值和解在哪里

在所考虑的系统的物理学所施加的标准近似下(钟摆频率比地球自转频率大得多)，降为

因此，通解为

很明显，在，而在某一时刻T是

如果T被选为(还记得福柯摆吗

这表明解回到了初始状态，但在演化过程中，它获得了一个额外的阶段[3]

4.2 一个简单量子的经典模拟PT对称的模型

在pt对称系统中，基于电路的实验研究由Schindler等人首创[8]。我们在此将量子pt对称模型视为由两个简单谐振电路定义的经典对应模型，但现在由旋转器耦合。在这种情况下，动力学方程为

和前面一样，我们对角化耦合项

来得到特征值

在哪里

在哪里

事实上，我们已经将方程简化为之前的厄米情况方程(20)但现在在有效的情况下，它显然进入了之前的极限情况

现在的解会得到原始的形式，但有一个重要的细节，回到初始状态，所需的时间不是T，而是一个修改过的时间

这种修正意味着获得的几何相位与厄米情况相同，因为它很容易从

重要的是要注意，通过修改参数，一旦接近pt对称自发破坏的异常点，它就会增加。

综上所述，我们已经证明，在PT对称的情况下，(经典)汉内相与等效量子系统的几何相有关，就像在标准厄米情况下一样，因为量子动力学方程与经典动力学方程之间是一对一的关系。

由旋转器耦合的谐振电路

5 资源nant电路

电路的模拟方程与前面给出的例子完全相同，可以进一步了解几何相作为整体效应的外观和行为。

仿真结果为两种不同值的旋转器(即对应不同纬度的傅科摆位置)。假设两个振子的初始条件相等，两个图都从平面开始。汉内相位是在周期T之后所需达到的角度(钟摆上的纬度效应的补充)

我们从图1所示的傅科摆[3]等效的电子网络开始。它由两个相同的，理想的LC振荡器(无损耗)由一个旋转器耦合。电压和的简单方程是

定义

表达式完全采用式(19)的形式。在图2中，描述了vs的曲线图。在这个图中，汉内相是减去经过周期T的绝热闭合偏移后到达初始位置所需的角度。

基于一对耦合LC振荡器的pt对称系统的电子镜像，一个具有损耗(通过R)，另一个具有增益(通过-R)，允许检测实频谱频率到复频率自发破缺pt对称相位之间的过渡[8]。这种简单的设置是通过振荡器之间的电感耦合进行的，但也可以通过旋转器进行耦合，旋转器是具有给定电导的两个端口的非互易无源元件[22]。我们注意到，在存在陀螺仪效应的最后一种情况下，量子pt对称系统的经典模拟再现了所有已知现象。

使用旋转器的非厄米pt对称电路

pt对称非厄米量子系统的等效电路如图3所示。电阻R表示网络外的能量流动，绝对值相等表示能量收入，系统是pt对称的。这种情况下的方程是

再次,定义

方程的形式为式(21)。参数s决定了pt对称是否存在。图4显示了特征值的实部和虚部随s变化的演变，描述了一个异常点的路径，在这个点上，pt对称性的自发丧失发生了，特征值变成了复共轭。通过这种方式，我们的实验室模拟明确地显示了在这个非厄米系统中发生的相变，从pt对称实现的相位到它自发破坏的相位。

归一化虚部和实部与非厄米电路pt对称的归一化程度

6 结论

Berry发现的著名的几何相位及其推广，特别是存在于量子演化中的Aharanov Anandan相位及其经典类比，Hannay角，在有限维动力学的情况下进行了计算，分析和比较。当考虑到基于解复化过程的量子动力学和经典动力学之间的数学等价时，这种比较是有意义的。我们明确地发现，等效情况下的经典和量子几何相通过一个非常精确的数值因子相关联，正如之前预测的那样[12]。对非厄米对称但PT对称的量子哈密顿量和相应的经典数学等效动力学也进行了研究。值得一提的是，正如预期的那样，在解中存在pt对称的区域，几何相位与厄米情况下得到的相一致。利用经典动力学和量子动力学[2]之间的严格意义上的等价性，保证了程序的正确性，可以建立由旋转器耦合的谐振电路，精确地再现运动方程和得到的理论解。通过这种方式，人们可以明确地展示一个量子力学相变，从一个实现对称的阶段到一个自发破坏对称的阶段。此外，我们的新模拟建议允许人们区分耦合，并表明旋转体耦合不仅因其更简单的分析而受到青睐，而且出于教学原因，因为，正如之前所示[3,26]，在这种情况下，系统可以与福柯摆一对一对应。总之，我们已经实现了量子厄米和pt对称与经典动力学之间的等价性，这也允许人们确认形式连接包括相应几何相位的行为。此外，提出了一种新颖的电路，能够模拟整个过程，并允许人们做定量分析。